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By Lucien Silvano Alhanati

  Matemática

Vetores VET

Produtos VET03

Produto vetorial VET0302

O que é o produto vetorial de dois vetores ? VET030201

Considere dois vetores a e b. O produto vetorial destes vetores é um vetor

com as seguintes características:
- módulo >>> produto dos módulos dos vetores fatores pelo seno do ângulo formado por eles
a.b.sena
- direção >>> perpendicular ao plano que contem os vetores fatores
- sentido >>> dos pés à cabeça de um observador, que em pé sobre o plano que contem os vetores fatores veria o primeiro vetor girar para o segundo, com o menor ângulo, no sentido anti-horário

Como é representado o produto vetorial ? VET030202

O produto vetorial c dos vetores a e b é representado por >>> c = a x b

O produto vetorial possui a propriedade comutativa ? VET030203

Não. 
A definição nos permite concluir que tocada a ordem dos fatores ocorrerá uma inversão no sentido do vetor produto >>> 

  a x b = - (b x a)

Qual é a interpretação gráfica do módulo do produto vetorial de dois vetores ? VET030204

O módulo do produto vetorial pode ser avaliado pela área do paralelogramo cujos lados são representados pelo vetores fatores

|a x b| >>> área do paralelogramo amarelo da figura

O que podemos afirmar sobre dois vetores a e b cujo produto vetorial é nulo ? VET030205

Sabemos que |a x b| = a.b.sena se |a x b| = 0 >>> a.b.sen= 0 >>> sena = 0 >>> 

a = 0o  ou a = 180o
os vetores possuem a mesma direção
 

Qual é o resultado do produto vetorial de dois dos vetores unitários i j e k dos eixos ortogonais ? VET030206

Considere o sistema referencial da figura.

A definição do produto vetorial nos permite escrever que

i x i = j x j = k x k = 0

i x j = k     k x i = j      j x k = i
note que as igualdades correspondem a uma permutação circular a partir da primeira 

j x i = - k     i x k = - j    k x j = -i
note que as igualdades correspondem a uma inversão da ordem dos fatores em relação às igualdades anteriores

Como calcular o produto vetorial de dois vetores em função de suas componentes ? VET030207

Considere os vetores  a = axi + ayj + az    e     b = bxi + byj  bzk
Vamos efetuar o produto vetorial >>> a x b = (axi + ayj + azk) x (bxi + byj + bzk) >>>

a x b = axi x bxi + axi x byj + axi x bzk + ayj x bxi + ayj x byj + ayj x bzk + azk x bxi + azk x byj + azk x bz >>>

a x b = ax.byk - ax.bzj - ay.bxk + ay.bzi + az.bxj - az.by

Este resultado pode ser resumido pelo determinante

Qual é a condição de paralelismo entre dois vetores ? VET030208

Dois vetores paralelos têm a mesma direção, logo o seu produto vetorial é nulo como vimos em VET030205

 


vetores