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By Lucien Silvano Alhanati

Matemática

Geometria GEO

Geometria da posição GEO09

Posições relativas entre retas e planos GEO0902

O que são retas coplanares ? GEO090201

São retas contidas num mesmo plano.

O que são retas reversas ? GEO090202

São retas que não estão contidas num mesmo plano.

O que são retas paralelas ? GEO090203

São retas coplanares que não possuem ponto comum.

Qual é o Postulado de Euclides ? GEO090204

"Por um ponto fora de uma reta só podemos traçar uma paralela a esta reta."

O Postulado de Euclides é a base da geometria que estamos estudando, que por este motivo é denominada de Geometria Euclidiana.
Existem outras geometrias baseadas em outros postulados que são as geometrias de Lobatchevski, Riemann, Bolyai, denominadas de geometrias não euclidianas.
O físico Albert Einstein e o matemático David Hilbert, estabeleceram as bases da teoria da relatividade restrita e da relatividade geral utilizando as ferramentas fornecidas pelo cálculo infinitesimal e a geometria de Riemann

O que se entende por ponto impróprio ? GEO090205

Considere uma reta R fixa e uma outra R' que gira em torno do ponto A.
Inicialmente na posição vermelha o ponto comum às duas retas está na posição P.
Continuando a girar passando para as posições azul, verde, etc constatamos que o ponto P de intersecção entre as retas se afasta e tende a uma posição infinitamente distante.
O ponto de intersecção entre as retas R e R' quando paralelas é um ponto P infinitamente distante denominado de ponto impróprio.
Podemos concluir que ponto impróprio é um ponto comum entre duas retas paralelas, situado numa posição infinitamente distante. 

O ponto impróprio caracteriza um conjunto de retas paralelas.

A figura abaixo mostra conjuntos de retas paralelas e os seus respectivos pontos impróprios.

O que são planos concorrentes ? GEO090206

Planos concorrentes são planos que possuem pontos comuns.
A intersecção entre dois planos concorrentes é sempre uma reta.

O que são planos paralelos ? GEO090207

Planos paralelos são planos que não possuem pontos comuns.

Quais são as posições possíveis de uma reta em relação a um plano ? GEO090208

Uma reta e um plano que:
  • não têm pontos comuns >>> reta paralela ao plano
  • têm um único ponto comum >>> reta secante ao plano
  • têm mais de um ponto comum >>> reta contida no plano

Quais são as propriedades das retas em relação aos planos ? GEO090209

1 - Quando dois planos P e P' são paralelos, qualquer reta R contida num deles P é paralela ao outro P'.

2 - Quando uma reta R é paralela a um plano P, ela é paralela a uma reta R' deste plano.

3 - Quando uma reta R não esta contida num plano P e é paralela a uma reta R' do plano, então ela R é paralela ao plano P.

4 - Em planos paralelos P e P' podemos ter retas R e R' que não sejam paralelas.

5 - Podemos ter retas paralelas R e R' em dois planos P e P' que não sejam paralelos.

6 - Se um plano P" intercepta dois planos P e P' paralelos as intersecções são retas R e R' paralelas.

7 - Um plano P contem retas R e R' concorrentes paralelas a um outro plano P', então os planos P e P'  são paralelos.

 


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