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By Lucien Silvano Alhanati

  Matemática

Funções FUN

 

 Funções do 1o grau FUN03

Equações e inequações do 1o grau FUN0302

  O que é uma equação do 1o grau ? FUN030200

É a igualdade obtida quando fazemos ax + b = 0
Raiz r da equação ax + b = 0 é o valor de x que satisfaz a igualdade

  Quais são as propriedades das equações ? FUN030201

                1 - As raízes de uma equação não se alteram quando somamos ou subtraímos uma mesma quantidade à ambos os membros da equação

Demonstração:
Seja f (x) = g (x) uma equação e r uma raiz, logo f (r) = g (r)
Somando C a ambos os membros teremos uma equação f (x) + C = g (x) + C que admite r como raiz, uma vez que 
f (r) + C = g (r) + C

                2 - As raízes de uma equação não se alteram quando passamos um termo de um membro para o outro trocando o seu sinal

f (x) + T = g (x) >>> f (x) = g (x) - T

Demonstração;
Seja f (x) + T = g (x) uma equação.  Somando - T a ambos os membros obtemos uma equação com as mesmas raízes

f (x) + T = g (x) >>> f (x) + T -T = g (x) - T >>> f (x) = g (x) - T

                3 - As raízes de uma equação não se alteram quando multiplicamos ou dividimos ambos os membros por uma mesma quantidade que seja diferente de zero e não contenha a incógnita.

Demonstração:
Seja f (x) = g (x) uma equação e r uma raiz, logo f (r) = g (r)
Multiplicando ambos os membros por C teremos uma equação C.f (x) = C.g (x) que admite r como raiz, uma vez que C.f (r) = C.g (r)
O mesmo acontece quando dividimos ambos os membro por C

IMPORTANTE

  • Quando a quantidade C contiver x introduzimos novas raízes.
    Exemplo:
    Seja f (x) = g (x) uma equação cuja raiz é 2, logo f (2) = g (2)
    Multiplicando ambos os membros por x - 1 termos uma equação (x - 1).f (x) = (x - 1).g(x) cujas raízes são 2 e 1 uma vez que
    (2 - 1).f (2) = (2 -1).g (2) e também (1 - 1).f (1) = (1 - 1).g (1)

  • Quando a quantidade C for nula a equação terá infinitas raízes
    Exemplo:
    Seja f (x) = g (x) uma equação cuja raiz é 2, logo f (2) = g (2)
    Multiplicando ambos os membros por C = 0 teremos uma equação C.f (x) = C.g (x) ou seja 0.f (x) = 0.g (x) que terá como raiz qualquer número uma vez que ambos os membros serão sempre nulos.

                4 - As raízes de uma equação não se alteram quando passamos um fator de um membro para o outro invertendo o seu valor

T.f (x) = g (x) >>> f (x) = g (x) / T

Demonstração;
Seja T.f (x) = g (x) uma equação.  Dividindo ambos os membros por T obtemos uma equação com as mesmas raízes

T.f (x) = g (x) >>> T.f (x) / T = g (x) / T >>> f (x) = g (x) / T

Como resolver uma equação do 1o grau ? FUN030202

Para resolver uma equação do 1o grau procedemos da seguinte maneira:
  • multiplicamos ambos os membros pelo mínimo múltiplo comum dos denominadores.
  • efetuamos os produtos indicados
  • passamos para o 1o membro da igualdade os termos que contem a incógnita ( x ) e para o 2o os termos independentes .
  • reduzimos os termos semelhantes
  • dividimos ambos os membros pelo coeficiente da incógnita ( x ).

Exemplo:
Resolver a equação:

  O que é uma desigualdade ? FUN030203

Desigualdade é toda proposição do tipo A > B

Propriedades:

  • o sentido de uma desigualdade não se altera quando somamos ou subtraímos de ambos uma mesma quantidade.
    Exemplo: 8 > 5      8 + 3 > 5 + 3          8 - 3 > 5 - 3
  •  o sentido de uma desigualdade não se altera quando multiplicamos ou dividimos ambos os membros por uma mesma quantidade positiva.
    Exemplo: 8 > 6      8 x 2 > 6 x 2      8 / 2 > 6 / 2
  • o sentido de uma desigualdade é invertido quando multiplicamos ou dividimos ambos os membros por uma mesma quantidade negativa.
    Exemplo: 8 > 6      8 x (-2) < 6 x (-2)     - 16 < - 12
                   8 > 6       8 / (-2) < 6 / (-2)        - 4 < - 3

O que é uma inequação do 1o grau ? FUN030204

Denominamos de inequação a uma das desigualdades:

Onde f ( x ) é uma função do 1o grau

Como resolver uma inequação do 1o grau ?FUN030205

Para resolver uma inequação do 1o grau procedemos da seguinte maneira:
  • multiplicamos ambos os membros pelo mínimo múltiplo comum dos denominadores.
  • efetuamos os produtos indicados
  • passamos para o 1o membro da desigualdade os termos que contem a incógnita ( x ) e para o 2o os termos independentes .
  • reduzimos os termos semelhantes
  • dividimos ambos os membros pelo coeficiente da incógnita ( x ).

Exemplo:
Resolver a inequação:

O que é uma inequação produto ?FUN030206

Considere as funções do 1o grau f ( x ), g ( x ) ........ n ( x )
Denominamos de inequação produto às inequações do tipo:

Como resolver uma inequação produto ? FUN030207

Para resolver uma inequação produto reduzimos cada uma das funções fatores à sua forma mais simples do tipo f ( x ) = ax + b e estudamos a variação do sinal de cada função e do produto, como mostra o exemplo a seguir.
Resolver a inequação:

O que é uma inequação quociente ? FUN030208

Considere as funções do 1o grau f ( x ) e g ( x ) 
Denominamos de inequação quociente às inequações do tipo:

Como resolver uma inequação quociente ? FUN030209

Para resolver uma inequação quociente reduzimos cada uma das funções numerador e denominador  à sua forma mais simples do tipo f ( x ) = ax + b e estudamos a variação do sinal de cada função e do quociente, como mostra o exemplo a seguir.
Resolver a inequação:

Como resolver inequações do 1o grau com duas variáveis ? FUN030210

Veja em GAN020113 

Quais são as condições iniciais que devem ser estabelecidas na resolução de um sistema de inequações ? FUN030211

Inicialmente é necessário estabelecer se as condições expressas em cada inequação são simultâneas ou não simultâneas

IMPORTANTE:
Quando nada for afirmado sobre as condições é usual considerar as inequações simultâneas

Como resolver um sistema de inequações simultâneas do 1o grau com uma variável ? FUN030212

O conjunto solução do sistema corresponde à interseção dos conjuntos solução de cada inequação

Exemplos:


Como resolver um sistema de inequações não simultâneas do 1o grau com uma variável ? FUN030213

O conjunto solução do sistema corresponde à união dos conjuntos solução de cada inequação

Exemplos:


Como resolver uma inequação dupla do 1o grau com uma variável ? FUN030214

São inequações duplas as inequações do tipo A > B > C
Estas inequações são equivalentes a um sistema de inequações simultâneas do tipo

A > B
e
B > C

Como resolver um sistema de inequações com duas variáveis ? FUN030215

Veja em  GAN020114

 


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